theory-of-probability-and-mathematical-statistics/04. Условная вероятность.ipynb

{
 "cells": [
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "f6b5d095",
   "metadata": {},
   "source": [
    "# Условная вероятность"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "5727b947",
   "metadata": {},
   "source": [
    "<strong>Условная вероятность</strong> - вероятность наступления события A при условии, что событие B произошло.\n",
    "\n",
    "Пример:\n",
    "1. A - меня зовут Артём\n",
    "2. B - мой пол мужской\n",
    "\n",
    "Если событие B произошло, то вероятность события A, будет записано как P(A|B)\n",
    "\n",
    "$P(A|B) = { P(A ∩ B) \\over P(B) }$\n",
    "\n",
    "<strong>Свойства условной вероятности</strong>\n",
    "\n",
    "1. P(A|A) = 1\n",
    "2. P(A|B) = P(A) (определение независимости двух событий)\n",
    "\n",
    "<strong>Формула полной вероятности</strong> - полная вероятность это совокупность всех непересекающихся событий:\n",
    "\n",
    "$P(A) = {\\sum P(A|B~i~)*P(B~i~)}$\n",
    "\n",
    "<strong>Формула Байеса</strong> - нужна для того чтобы получить обратную вероятность, в нашем случае P(B|A), как видно, в знаменателе присутствует формула полной вероятности:\n",
    "\n",
    "$P(B|A) = { P(A|B) * P(B) \\over \\sum P(A|B~i~)*P(B~i~)}$\n",
    "\n",
    "<strong>Независимость попарная, в совокупности</strong>\n",
    "\n",
    "Попарная независимость - это множество случайных величин, любая пара которых независима (частный случай совокупной независимости)\n",
    "\n",
    "Совокупная независимость - если порожденные случайными величинами сигма-алгебры независимы \n",
    "\n",
    "<strong>Пример Бернштейна</strong>\n",
    "\n",
    "Дан правильный тетраэдр, три грани которого окрашены в красный, синий, зелёный, а четвёртая грань содержит все три цвета. \n",
    "Вероятность каждого из событий равна 1/2, так как каждый цвет есть на двух гранях из четырёх. Вероятность пересечения любых двух из них равна 1/4, так как только одна грань из четырёх содержит два цвета. А так как 1/4 = 1/2 * 1/2, то все события попарно независимы.\n",
    "\n",
    "Но вероятность пересечения всех трёх тоже равна 1/4, а не 1/8, т.е. события не являются независимыми в совокупности.\n",
    "\n",
    "<strong>Фильтрация сигма-алгебр</strong> - неубывающее семейство σ-алгебр:\n",
    "\n",
    "$F$<sub>i</sub> ⊂ $F$<sub>k</sub> ⊂ $F$<sub>m</sub> ⊂ $F$<sub>n</sub>\n",
    "\n",
    "Слева может оказаться наименьшая сигма-алгебра, а справа мощностью $2^{|Ω|}$,\n",
    "это нужно чтобы уменьшать можество с течением случайного процесса, когда появляется новая информация"
   ]
  }
 ],
 "metadata": {
  "kernelspec": {
   "display_name": "Python 3 (ipykernel)",
   "language": "python",
   "name": "python3"
  },
  "language_info": {
   "codemirror_mode": {
    "name": "ipython",
    "version": 3
   },
   "file_extension": ".py",
   "mimetype": "text/x-python",
   "name": "python",
   "nbconvert_exporter": "python",
   "pygments_lexer": "ipython3",
   "version": "3.8.2"
  }
 },
 "nbformat": 4,
 "nbformat_minor": 5
}